Intellectica 2009/1, n° 51

Le continu mathématique. Nouvelles conceptions, nouveaux enjeux

Dirk van Dalen

La fluidité du continu réhabilitée

Résumé : Après l’arithmétisation du continu au 19ème siècle, L.E.J. Brouwer, dans sa thèse de Doctorat en 1907, ramena le continu intuitif au sein de sa philosophie intuitioniste. Ce qu’il est convenu d’appeler ur-intuition (ou intuition du temps) permit l’appréhension conjointe des entiers naturels et du continu. Nous montrons que les mathématiques intuitionistes, en tant qu’activité mentale du sujet, furent contraintes de rompre avec certaines lois traditionnelles de la logique, en particulier le principe du tiers exclu. Nous examinons les propriétes du continu et des entiers naturels selon la vision brouwérienne. Nous établissons, en particulier, que la notion de ur-intuition (qui prend corps dans le glissement du temps) admet comme cas particulier l’induction et la récursion. Le deuxième acte de l’intuitionisme, amorcé en 1918, donna naissance à un univers brouwérien autonome au sein des mathématiques, univers fondé sur les suites de choix et le principe de continuité.

 Mots clés : Continuum, ur-intuition, suites de choix, induction, entiers naturels, principe du tiers exclu, principe de continuité, implication.