Intellectica 2009/1, n° 51

Le continu mathématique. Nouvelles conceptions, nouveaux enjeux

John L. Bell

Le continu cohésif

Résumé : Un continuum est « d’une seule pièce », au sens où il ne peut être divisé en deux (ou plusieurs) parties non vides disjointes. Si la « partie » désigne un ouvert (ou un fermé) de l’espace, on est conduit au concept topologique classique de connexité. Ainsi un espace S est-il connexe s’il est impossible de le partitionner en deux sous-ensembles ouverts (ou fermés) non vides et disjoints – ou de façon équivalente, si, pour toute partition par deux ouverts (ou deux fermés) de S, l’un d’eux est vide. Tel est le cas, par exemple, de l’espace R des réels et de tous ses intervalles ouverts et fermés. Un tournant radical s’opère si l’on prend l’expression « d’une seule pièce » au sens litttéral, c’est-à-dire au sens de l’inséparabilité de l’espace en deux parties, ou sous-ensembles, quelconques. Un espace S satisfaisant une telle condition est dit cohésif ou indécomposable. En logique classique, en raison de la validité du tiers exclu, les espaces cohésifs se réduisent à des espaces vides ou à des singletons ; en revanche, la logique intuitioniste, non seulement, garantit l’existence d’espaces cohésifs non triviaux, mais, de plus, fait de tout espace connexe un espace cohésif. Dans cet article, nous présentons le substrat philosophique de l’indécomposabilité ainsi que les diverses modélisations de cette notion dans les mathématiques contemporaines.

Mots clés : Continuum, indécomposabilité, connexité, théorie intuitioniste des ensembles, topos.