Intellectica 2009/1, n° 51

Le continu mathématique. Nouvelles conceptions, nouveaux enjeux

Pierre Cassou-Noguès

Le continu et les intuitions mathématiques. Problèmes liés à l’intuition mathématique dans la pensée de Gödel

Résumé : Gödel a établi la consistance relative de l’hypothèse du continu par rapport aux axiomes usuels de la théorie des ensembles en 1938. Il a, jusqu’en 1943 environ, travaillé à une preuve de son indépendance. Il échoue mais il continuera à réfléchir en philosophe à la nature propre du problème du continu. Nous nous attachons d’abord à discuter des différents modes d’intuition que Gödel distingue dans ce secteur de l’activité mathématique. Nous abordons ensuite les problèmes métaphysiques que ces différentes intuitions posent. Quel est, par exemple, le rôle du temps dans la pensée mathématique ? S’il y a une intuition abstraite, et proprement mathématique, celle-ci utilise-t-elle un organe ? Comment alors penser l’influence d’un objet mathématique sur un organe corporel ? Si les mathématiques ont une valeur universelle, et si elles exigent différentes intuitions, faut-il également prêter celles-ci à tout être, comme Dieu, capable de mathématiques ? Quel est enfin le rapport de Gödel à la tradition phénoménologique ? L’analyse des remarques de Gödel sur les intuitions du continu introduit ainsi aux grandes questions de sa métaphysique. Nous nous appuyons largement sur les papiers inédits conservés à la bibliothèque de Princeton.

Mots clés : Gödel, Turing, intuition, temps, espace, continu, infini.